सीमा ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[\frac{x-2}{x^{2}-x}-\frac{1}{x^{3}-3 x^{2}+2 x}\right]$.

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{2 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^3}{1-\sin 2 x}=$

यदि $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{e^{\sqrt{\tan x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{\tan x} - \sqrt{x}} \right)$ और $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{2} \cot x}$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx - \sqrt{e} = 0$ के मूल हैं,तो $12 \log_e(a + b)$ का मान ............. है।

मान लीजिए कि $m$ और $n$ दो धनात्मक पूर्णांक हैं जो $1$ से बड़े हैं। यदि $\lim_{\alpha \rightarrow 0} \left( \frac{e^{\cos(\alpha^n)} - e}{\alpha^m} \right) = -\left( \frac{e}{2} \right)$ है,तो $\frac{m}{n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b$ और $c$ तीन भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं और $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(b-c) x^2+(c-a) x+(a-b)}{(a-b) x^2+(b-c) x+(c-a)}=\frac{1}{2}$,तो $a+2 c=$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{a^x} - {b^x}}}{x}} \right) = $